С1

Для заданной схемы балки требуется найти опорные реакции, если l=14 м, а=3,8 м, b=5 м, М=11 кН м, F=10 кН.

Решение. Так как горизонтальная нагрузка отсутствует, то опора А имеет только вертикальную реакцию RA. Составляем уравнения равновесия в виде моментов всех сил относительно точек А и В.

откуда находим

Для проверки составим уравнение равновесия на вертикальную ось:

Контрольные вопросы

балка шарнир сила точка

Как находится проекция силы на ось?

Проекция силы на ось - это алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между положительным направлением оси и вектором силы (т.е. это отрезок, откладываемый силой на соответствующие оси).

Px= P cos?= P cos90o=0;

Rx= R cos? = -R cos(180o-?).

Проекция силы на ось положительна, рис. 2 а), если 0 ? ? < ?/2.

В каком случае проекция силы на ось равна нулю?

Проекция силы на ось может быть равной нулю, рис. 2 б), если? = ?/2.)

В каком случае проекция силы на ось равна модулю силы?

Проекция силы на ось равна модулю силы, если? =0?.

В каком случае проекция силы на ось отрицательна?

Проекция силы на ось может быть отрицательной, рис. 2 в), если?/2 < ? ? ?.

Сколько уравнений равновесия составляется для плоской сходящейся системы сил?

Силы называют сходящимися, если их линии действия пересекаются в одной точке. Различают плоскую систему сходящихся сил, когда линии действия всех данных сил лежат в одной плоскости.

Равновесие системы сходящихся сил.

Из законов механики следует, что твердое тело, на которое действуют взаимно уравновешенные внешние силы, может не только находиться в покое, но и совершать движение, которое мы назовем движением «по инерции». Таким движением будет, например, поступательное равномерное и прямолинейное движение тела.

Отсюда получаем два важных вывода:

1) Условиям равновесия статики удовлетворяют силы, действующие как на покоящееся тело, так и на тело, движущееся «по инерции».

2) Уравновешенность сил, приложенных к свободному твердому телу, является необходимым, но не достаточным условием равновесия (покоя) самого тела; в покое тело будет при этом находиться лишь в том случае, если оно было в покое и до момента приложения к нему уравновешенных сил.

Для равновесия приложенной к твердому телу системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этих сил была равна нулю. Условия, которым при этом должны удовлетворять сами силы, можно выразить в геометрической или аналитической форме.

1. Геометрическое условие равновесия. Так как равнодействующая сходящихся сил определяется как замыкающая сторона силового многоугольника, построенного из этих сил, то может обратиться в нуль тогда и только тогда, когда конец последней силы в многоугольнике совпадает с началом первой, т. е. когда многоугольник замкнется.

Следовательно, для равновесия системы, сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил, был замкнут.

2. Аналитические условия равновесия. Аналитически равнодействующая системы сходящихся сил определяется формулой

Так как под корнем стоит сумма положительных слагаемых, то R обратится в нуль только тогда, когда одновременно

т. е. когда действующие на тело силы будут удовлетворять равенствам:

Равенства выражают условия равновесия в аналитической форме: для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из трех координатных осей были равны нулю.

Если все действующие на тело сходящиеся силы лежат в одной плоскости, то они образуют плоскую систему сходящихся сил. В случае плоской системы сходящихся сил получим, очевидно, только два условия равновесия

Равенства выражают также необходимые условия (или уравнения) равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием сходящихся сил.

В какую сторону направлена реакция стержня с шарнирным крепление концов?

Пусть в какой-нибудь конструкции связью является стержень АВ, закрепленный на концах шарнирами (рис.3). Примем, что весом стержня по сравнению с воспринимаемой им нагрузкой можно пренебречь. Тогда на стержень будут действовать только две силы приложенные в шарнирах А и В. Но если стержень АВ находится в равновесии, то приложенные в точках А и В силы должны быть направлены вдоль одной прямой, т. е. вдоль оси стержня. Следовательно, нагруженный на концах стержень, весом которого по сравнению с этими нагрузками можно пренебречь, работает только на растяжение или на сжатие. Если такой стержень является связью, то реакция стержня будет направлена вдоль оси стержня.

Как находится момент силы относительно точки?

Момент силы относительно точки определяется произведением модуля силы на длину перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы (рис. 4, а). При закреплении тела в точке О сила стремится вращать его вокруг этой точки. Точка О, относительно которой берется момент, называется центром момента, а длина перпендикуляра а называется плечом силы относительно центра момента.

Измеряются моменты сил в ньютонометрах (Н м) или килограммометрах (кгс м) или в соответствующих кратных и дольных единицах, как и моменты пар.

В каком случае момент силы относительно точки равен нулю?

Когда линия действия силы проходит через данную точку, ее момент относительно этой точки равен нулю, так как в рассматриваемом случае плечо равно нулю: а = 0 (рис. 4, в).

Сколько уравнений равновесия составляется для плоской произвольной системы сил?

Для плоской произвольной системы сил можно составить три уравнения равновесия:

Как направлены реакции в неподвижном шарнире?

Неподвижная шарнирная опора (рис.5, опора В). Реакция такой опоры проходит через ось шарнира и может иметь любое направление в плоскости чертежа. При решении задач будем реакцию изображать ее составляющими и по направлениям осей координат. Если мы, решив задачу, найдем и, то тем самым будет определена и реакция; по модулю

Как направлена реакция в подвижном шарнире?

Подвижная шарнирная опора (рис.6, опора А) препятствует движению тела только в направлении перпендикулярном плоскости скольжения опоры. Реакция такой опоры направлена по нормали к поверхности, на которую опираются катки подвижной опоры.

Проекция силы на ось – это алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между положительным направлением оси и вектором силы (т.е. это отрезок, откладываемый силой на соответствующие оси. Рисунок 1.13):

F x = Fcosα ;

P x = Pcosβ= P⋅ cos90 o =0 ;

R x =Rcosγ = -R⋅ cos(180 o -γ) .

Рисунок 1.13

Проекция силы на ось может быть положительной, рис. 1.13а (0 ≤ α < π/2 ), равной нулю, рис. 1.13б (β = π/2 ) и отрицательной, рис. 1.13в (π/2 < γ ≤ π ).

Иногда для нахождения проекции силы на ось сначала нужно найти ее проекцию на плоскость, а потом проекцию на ось (рисунок 1.14):

P z = P sinα ;

P x = (P cosα)cosβ ;

Py= (P cosα)cosγ = P cosα⋅ cos(90 o -β) .

Рисунок 1.14

4. Сосре­доточенными считаются силы, приложенные к малой поверхности, размеры которой малы по сравнению с размерами тела. Однако при расчете напряжений вблизи зоны приложения силы нагрузку следует считать распределенной. К сосредоточенным нагрузкам относят не только сосредоточенные силы, но и пары сил, примером которых можно счи­тать нагрузку, создаваемую гаечным ключом при закручивании гайки. Сосредоточенные усилия измеряются в кН.

Распределенные нагрузки бывают распределенными по длине и по площади. К распределенным нагрузкам относят давление жидкости, газа или другого тела. Распределенные силы измеряются, как правило, в кН/м (распределенные по длине) и кН/м2 (распределенные по площади).

ИНТЕНСИВНОСТЬ НАГРУЗКИ нагрузка, приходящаяся на единицу нагруженной площади или длины

5.Сложение сходящихся сил. Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке,

называется системой с х о д я щ и х с я с и л.

Сложить две или несколько сил - это значит заменить эти силы одной силой, им эквивалентной, т.е.

найти их равнодействующую.

Из ADC: т.к.

Разложить силу - значит найти ее составляющие. Две равные силы, направленные по одной прямой в противоположные стороны, взаимно уравновешиваются, тело при действии этих сил находится в равновесии, т. е. в состоянии покоя.

6. Момент силы относительно центра (или точки).

Опыт показывает, что под действием силы твердое тело может наряду с поступательным перемещением совершать вращение вокруг того или иного центра. Вращательный эффект силы характеризуется ее момен­том

Рассмотрим силу , приложенную в точке А твердого тела (рис. 20). Допустим, что сила стремится повернуть тело вокруг центра О . Перпендикуляр h , опущенный из центра O на линию действия силы , на­зывается плечом силы от­носительно центра О . Так как точку приложения силы можно произвольно переме­щать вдоль линии действия, то, очевидно, вращательный эффект силы будет зависеть: 1) от модуля силы F и длины плеча h ; 2) от поло­жения плоскости поворота ОАВ , проходящей через центр О и силуF ; 3) от направления поворота к этой плоскости.

Рис.20

Ограничимся пока рассмотрением систем сил, лежащих в одной плоскости. В этом случае плоскость поворота для всех сил является общей и в дополнительном задании не нуждается.

Тогда для количественного измерения вращательного эффекта можно ввести следующее понятие о моменте силы: моментом силы относительно центра О называется величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на длину плеча.

Момент силы относительно центра О будем обозначать сим­волом m 0 (F ). Следовательно,

В дальнейшем условимся считать, что момент имеет знак плюс, если сила стремится повернуть тело вокруг центра О против хода ча­совой стрелки, и знак минус, - если по ходу часовой стрелки. Так, для силы , изображенной на рис.20,а , момент относительно центра О имеет знак плюс, а для силы, показанной на рис.20,б , - знак ми­нус.

Отметим следующие свойства момента силы:

1) Момент силы не изменяется при переносе точки приложения силы вдольее линии действия.

2) Момент силы относительно центра О равен нулю только тогда, когда сила равна нулю или когда линия действия силы проходит через центр О (плечо равно нулю).

3) Момент силы численно выражается удвоенной площадью тре­угольника ОАВ (рис. 20,б )

Этот результат следует из того, что

Перейдем к рассмо­трению аналитического (численного) метода решения задач статики. Этот метод основывается на понятии о проекции силы на ось. Как и для всякого другого вектора, проекцией силы на ось называется скалярная величина, равная взятой с соответствующим знаком длине отрезка, заключенного между проекциями начала и конца силы. Проекция имеет знак плюс, если перемещение от ее начала к концу происходит в положительном направлении оси, и знак минус - если в отрицательном. Из определения следует, что проек­ции данной силы на любые параллельные и одинаково направлен­ные оси равны друг другу. Этим удобно пользоваться при вычисле­нии проекции силы на ось, не лежащую в одной плоскости с силой.

Рис. 1

Обозначать проекцию силы на ось Ох будем символом F x . Тогда для сил, изображенных на рис.1, получим:

Но из чертежа видно, что

Следовательно,

т. е. проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным на­правлением оси. При этом проекция будет положительной, если угол между направлением силы и положительным направлением оси - острый, и отрицательной, если этот угол - тупой; если сила перпен­дикулярна к оси, то ее проекция на ось равна нулю.

Рис.2

Проекцией силы на плоскость Оху называется вектор , заключенный между проекциями начала и конца силы на эту плоскость (рис. 2). Таким образом, в отличие от проекции силы на ось, проекция силы на плоскость есть величина векторная, так как она характеризуется не только своим чис­ленным значением, но и направлением в плоскости Оху . По модулю , где - угол между направ­лением силы и ее проекции .

В некоторых случаях для нахож­дения проекции силы на ось бывает удобнее найти сначала ее проекцию на плоскость, в которой эта ось ле­жит, а затем найденную проекцию на плоскость спроектировать на данную ось.

Например, в случае, изображенном на рис. 2, найдем таким способом, что

Геометрический способ сложения сил.

Решение многих задач механики связано с известной из векторной алгебры операцией сложения векторов и, в частности, сил. Величину, равную геометрической сумме сил какой-нибудь системы, будем называть главным вектором этой системы сил. Понятие о геометрической сумме сил не следует смешивать с понятием о равнодействующей, для многих систем сил, как мы увидим в дальнейшем, равнодействующей вообще не существует, геометрическую же сумму (главный вектор) можно вычислить для любой системы сил.

Геометрическая сумма (главный вектор) любой системы сил определяется или последовательным сло­жением сил системы по правилу параллелограмма, или построением силового многоугольника. Второй способ является более простым и удобным. Для нахождения этим способом суммы сил (рис. 3, a ), откладываем от произвольной точки О (рис. 3, б ) век­тор Oa , изображающий в выбранном масштабе cилу F 1 , от точки a откладываем вектор , изображающий силу F 2 , от точки b откла­дываем вектор bc , изображающий силу F 3 и т. д.; от конца m пред­последнего вектора откладываем вектор mn , изображающий силуF n .Соединяя начало первого вектора с концом последнего, получаем вектор , изображающий геометрическую сумму или главный вектор слагаемых сил:

От порядка, в котором будут откладываться векторы сил, модуль и направление не зависят. Легко видеть, что проделанное по­строение представляет собою результат последовательного приме­нения правила силового тре­угольника.

Рис.3

Фигура, построенная на рис. 3,б , называется силовым (в общем случае векторным) многоугольником. Таким обра­зом, геометрическая сумма или главный вектор несколь­ких сил изображается замы­кающей стороной силового многоугольника, построенно­го из этих сил (правило сило­вого многоугольника). При построении векторного многоугольника следует помнить, что у всех слагаемых векторов стрелки должны быть направлены в одну сторону (по обводу многоугольника), а у вектора - в сторону противоположную.

Равнодействующая сходящихся сил. При изучении статики мы будем последовательно переходить от рассмотрения более простых систем сил к более сложным. Начнем с рассмотрения си­стемы сходящихся сил.

Сходящимися называются силы, линии дей­ствия которых пересекаются в одной точке, называемой центром системы (см. рис. 3, а ).

По следствию из первых двух аксиом статики система сходящихся сил, действующих на абсолютно твердое тело, эквивалентна системе сил, приложенных в одной точке (на рис. 3, а в точке А ).

Последовательно применяя аксиому параллелограмма сил, прихо­дим к выводу, что система сходящихся сил имеет равнодей­ствующую, равную геометрической сумме (главному вектору) этих сил и приложенную в точке их пересечения. Следовательно, если силы сходятся в точке A (рис. 3, а ), то сила, равная главному вектору , найденному построением силового мно­гоугольника, и приложенная в точке А , будет равнодействующей этой системы сил.

Примечания.

1. Результат графического определения равнодействующей не изменится, если силы суммировать в другой последовательности, хотя при этом мы получим другой силовой многоугольник - отличный от первого.

2. Фактически силовой многоугольник, составленный из векторов сил заданной системы, является ломаной линией, а не многоугольником в привычном смысле этого слова.

3. Отметим, что в общем случае этот многоугольник будет пространственной фигурой, поэтому графический метод определения равнодействующей удобен только для плоской системы сил.

Равновесие системы сходящихся сил.

Из законов меха­ники следует, что твердое тело, на которое действуют взаимно уравновешенные внешние силы, может не только находиться в покое, но и совершать движение, которое мы назовем движением «по инер­ции». Таким движением будет, например, поступательное равномерное и прямолинейное движение тела.

Отсюда получаем два важных вывода:

1) Условиям равновесия статики удовлетворяют силы, действующие как на покоящееся тело, так и на тело, движущееся «по инерции».

2) Уравно­вешенность сил, приложенных к свободному твердому телу, является необходимым, но не достаточным условием равновесия (покоя) самого тела; в покое тело будет при этом находиться лишь в том случае, если оно было в покое и до момента приложения к нему уравнове­шенных сил.

Для равновесия приложенной к твердому телу системы сходя­щихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этих сил была равна нулю. Условия, которым при этом должны удовле­творять сами силы, можно выразить в геометрической или аналити­ческой форме.

1. Геометрическое условие равновесия. Так как равнодействующая сходящихся сил определяется как замыкающая сторона силового многоугольника, построенного из этих сил, то может обратиться в нуль тогда и только тогда, когда конец последней силы в многоугольнике совпадает с началом первой,т. е. когда много­угольник замкнется.

Следовательно, для равновесия системы, сходящихся сил необ­ходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построен­ный из этих сил, был замкнут.

2. Аналитические условия равновесия. Аналитически равнодействующая системы сходящихся сил определяется формулой

.

Так как под корнем стоит сумма положительных слагаемых, то R обратится в нуль только тогда, когда одновременно , т. е. когда действующие на тело силы будут удовлетворять равенствам:

Равенства выражают условия равновесия в аналитической форме: для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из трех координатных осей были равны нулю.

Если все действующие на тело сходящиеся силы лежат в одной плоскости, то они образуют плоскую систему сходящихся сил. В случае плоской системы сходящихся сил получим, очевидно, только два условия равновесия

Равенства выражают также необходимые условия (или уравнения) равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием сходящихся сил.

Теорема о трех силах. Уравновешенная плоская система трех непараллельных сил является сходящейся.

Условие «плоская» в формулировке теоремы не является необходимым - можно убедиться, что любая уравновешенная система трех сил всегда будет плоской. Это следует из условий равновесия произвольной пространственной системы сил, которые будут рассмотрены далее.

Пример 1. На рис.4 показаны три силы. Проекции сил на оси х, у, z очевидны:

Рис.4

Рис. 2.4.

А чтобы найти проекцию силы на ось х нужно использовать пра­вило двойного проектирования .

Проектируем силу сначала на плос­кость х Оу , в которой расположена ось (рис.4), получим вектор , величиной а затем его проектируем на ось х: .

Аналогично действуя, найдём проекцию на ось у : .

Проекция на ось z находится проще: .

Нетрудно убе­диться, что проекции сил на ось V равны:

При определении этих проекций удобно воспользоваться рис.5, видом сверху на распо­ложение сил и осей.

Рис.5

Вернёмся к системе сходящихся сил (рис. 6). Проведём оси координат с началом в точке пересечения линий действия сил, в точке О .

Мы уже знаем, что равнодействующая сил . Спроектируем это векторное равенство на оси. Получим проек­ции равнодействующей на оси x , y , z :

Они равны алгебраическим сум­мам проекций сил на соответствующие оси. А зная проекции равнодействую­щей, можно определить и величину её как диагональ прямоугольного парал­лелепипеда или

Направление вектора найдём с помощью направляющих косинусов (рис.6):

Рис.6

Пример 2. На шар, вес которого Р, лежащий на горизонтальной плоско­сти и привязанный к ней нитью АВ , действует сила F (рис.7). Определим реакции связей.

Рис.7

Следует сразу заметить, что все задачи статики решаются по одной схеме, в определённом порядке.

Продемонстрируем ее на примере решения этой задачи.

1. Надо выбрать (назначить) объект равновесия – тело, равновесие ко­торого следует рассмот­реть, чтобы найти неиз­вестные.

В этой задаче, ко­нечно, объект равновесия – шар.

2. Построение рас­чёт­ной схемы. Расчётная схема – это объект рав­новесия, изображённый отдельно, свободным телом, без свя­зей, со всеми силами, действую­щими на него: реакциями и остальными силами.

Показываем реакцию нити и нормаль­ную реакцию плоскости – (рис.7). Кроме них на шар действуют заданные силы и .

3. Надо установить какая получилась система сил и составить со­ответствующие уравнения равновесия.

Здесь получилась система сходящихся сил, расположенных в плос­кости, для которой составляем два уравнения (оси можно проводить произвольно):

4. Решаем систему уравнений и находим неизвестные.

По условию задачи требовалось найти давление шара на плоскость. А мы нашли реакцию плоскости на шар. Но, по определению следует, что эти силы равны по величине, только давление на плоскость будет направлено в противоположную сторону, вниз.

Пример 3. Тело весом Р прикреплено к вертикальной плоскости тремя стержнями (рис.8). Определим усилия в стержнях.

Рис.8

В этой задаче объект равновесия – узел С вместе с гру­зом. Он нарисован отдельно с реак­циями, усилиями в стержнях и весом . Силы образуют пространственную систему сходящихся сил. Составляем три уравнения равно­весия:

Из первого уравнения следует: S 2 = S 3 . Тогда из третьего:

А из второго:

Когда мы направляли усилие в стержне от узла, от объекта равнове­сия, предполагали, что стержни работают на растяжение. Усилие в стержне CD получилось отрицательным. Это значит – стержень сжат. Так что знак усилия в стержне указывает как работает стержень: на растяжение или на сжатие.

Пример 4. Определить реакции стержней, соединенных шарниром В , если к нему подвешен груз весом Q (рис.9,а ).

Решение. В соответствии с предложенным выше планом выбираем тело, равновесие которого мы будем рассматривать. Этот выбор, в основном, определяется условиями задачи. Если в этой задаче рассмотреть равновесие подвешенного груза, то мы сумеем найти только силу натяжения нити, которая равна весу тела: T = Q (рис.9,б ).

Чтобы определить реакции стержней, рассмотрим равновесие точки В . Можно считать, что к ней посредством нити приложена активная сила Q и реакции отброшенных стержней S A и S C (рис.9,в ).

Решим эту задачу аналитически. Выбирая начало отсчета в точке В , составим уравнения равновесия, которые примут вид:

-S A cosα + S C cosβ = 0;

S A sinα + S C sinβ = Q .

Чтобы найти отсюда S C сложим полученные уравнения, умножив предварительно первое из них на sinα, а второе – на cosα:

S C (sinαcosβ + cosα sinβ) = Q cosα.

Отсюда следует, что S C = Q cosα/sin(α+β), а поскольку α и β в эти уравнения входят симметрично, то S A = Q cosβ/sin(α+β).

Для проверки правильности аналитического решения задачи воспользуемся графическим методом.

Треугольник, образованный из трех сил: Q , S A и S C должен быть замкнут, поэтому решение сводится к построению треугольника по известной стороне (Q ) и направлению двух других сторон(S A и S C ). Для этого нужно в масштабе построить вектор Q , а затем из начала и из конца этого вектора провести прямые, параллельные S A и S C до их пересечения (рис.9,г ).

Измерив длины найденных отрезков и пересчитав в масштабе, можно считать поставленную задачу решенной. Направление полученных векторов определяется из условия замкнутости силового многоугольника, то есть конец последнего вектора должен совпадать с началом первого.

Рис.9

Можно, впрочем, определить величину S A и S C и без масштабной линейки, если просто решить построенный треугольник.

С этой целью воспользуемся теоремой синусов:

откуда, заменяя синус дополнительного угла косинусом, получим:

То есть, результат графического решения совпадает с аналитическим, значит задача решена правильно.

Пример 5. Центр невесомого идеального блока удерживается при помощи двух стержней, соединенных шарнирно в точке В . Через блок переброшена нить, один конец которой закреплен, а к другому – подвешен груз весом Q (рис.10,а ). Определить реакции стержней, пренебрегая размерами блока.

Решение. Рассмотрим равновесие блока В , к которому приложены силы натяжения нитей Т 1 и Т 2 и реакции отброшенных стержней S A и S С , которые, как и в предыдущем примере мы считаем растянутыми (рис.10,б ).

Фактически в качестве активной силы выступает вес груза Q , который приложен к блоку с помощью нити, поэтому Т 1 = Q . По поводу силы Т 2 надо отметить, что идеальным – то есть без трения блоком называется механизм, который меняет направление силы натяжения нити, но не ее величину, поэтому Т 1 = Т 2 = Q .

Пренебрегая размерами блока, получим уравновешенную систему сходящихся сил, приложенных в точке В (рис.10,в ).

Определим реакции S A и S С аналитически. Отметим, что если в первое из аналитических уравнений равновесия входят оба неизвестных, то в уравнение ΣY i = 0 неизвестная реакция S С не войдет, поэтому имеет смысл начать решение задачи именно с этого уравнения:

S A cos30°+ Т 2 cos60°- Т 1 = 0.

Подставляя сюда значения тригонометрических функций и Т 1 = Т 2 = Q , получим:

Теперь вернемся к уравнению ΣX i = 0:

- S A cos60°+ Т 2 cos30°+ S С = 0,

Подставив найденное выше значение S A , получим:

При этом минус в последнем выражении означает, что стержень ВС не растянут, как мы предполагали, а сжат.

Для проверки полученного результата решим эту задачу графически. С этой целью от центра О последовательно откладываем в масштабе известные силы Т 1 и Т 2 , затем от начала первого и от конца последнего вектора проводим прямые, параллельные S A и S С до их пересечения (рис.10,г ).

Рис.10

Нетрудно видеть, что построенный силовой многоугольник имеет ось симметрии и |S A |=|S С |. При этом направление вектора S С на силовом многоугольнике противоположно первоначальному направлению, указанному на чертеже, то есть стержень ВС не растянут, а сжат.

Примечания.

1. В системе аналитических уравнений равновесия оси координат не обязательно должны быть взаимно перпендикулярными, поэтому, если в последнем примере выбрать ось Ох , совпадающую по направлению с силой Т 2 , мы получим систему уравнений, из которых неизвестные S A и S С находятся независимо одно от другого .

2. Впоследствии мы увидим, что аналитическое решение можно проверить не только с помощью графического решения, но и аналитически. Впрочем, для системы сходящихся сил изложенный метод решения задач является, по-видимому, оптимальным.

Практическое занятие №1. Плоская система сходящихся сил

Знать способы сложения двух сил и разложение силы на со­ставляющие, геометрический и аналитический способы определе­ния равнодействующей силы, условия равновесия плоской сходящей­ся системы сил.

Уметь определять равнодействующую системы сил, решать задачи на равновесие геометрическим и аналитическим способом, рационально выбирая координатные оси.

Расчетные формулы

Равнодействующая системы сил

где F ∑ x , F ∑ y - проекции равнодействующей на оси координат; F kx , F ky - проекции векторов-сил системы на оси координат.

где - угол равнодействующей с осью Ох.

Условие равновесия

Если плоская система сходящихся сил находится в равновесии, мно­гоугольник сил должен быть замкнут.

Пример 1. Определение равнодействующей системы сил.

Определить равнодействующую плоской системы сходящихся сил аналитическим и геометрическим способами (рис. П1.1). Дано:

Решение

1. Определить равнодействующую аналитическим способом (рис. П1.1a).

2. Определить равнодействующую графическим способом.

С помощью транспортира в масштабе 2 мм = 1 кН строим много­угольник сил (рис. П1.1б). Измерением определяем модуль равно­действующей силы и угол наклона ее к оси Ох.

Результаты расчетов не должны отличаться более чем на 5%:

Расчетно-графическая работа №1. Определение равнодействующей плоской системы схо­дящихся сил аналитическим и геометрическим способами

Задание 1. Используя схему рис. П1.1а, определить равнодей­ствующую системы сил геометрическим способом

Пример 2. Решение задачи на равновесие аналитиче­ским способом.

Грузы подвешены на стержнях и канатах и находятся в равно­весии. Определить реакции стержней АВ и СВ (рис. П1.2).

Решение

1. Определяем вероятные направления реакций (рис. П1.2а). Мысленно убираем стержень АВ , при этом стержень СВ опускается, следовательно, точка В отодвигается от стены: назначение стержня АВ - тянуть точку В к стене.

Если убрать стержень СВ , точка В опустится, следовательно, стержень СВ поддерживает точку В снизу - реакция направлена вверх.

2. Освобождаем точку В от связи (рис. П1.26).

3. Выберем направление осей координат, ось Ох совпадает с ре­акцией R 1 .

4. Запишем уравнения равновесия точки В :

5. Из второго уравнения получаем:

Из первого уравнения получаем:

Вывод: стержень АВ растянут силой 28,07 кН, стержень СВ сжат силой 27,87 кН.

Примечание. Если при решении реакция связи окажется отрицательной, значит, вектор силы направлен в противоположную сторону.

В данном случае реакции направлены верно.

Определить величину и направление реакций связей по данным одного из вариантов, показанных на рисунке.

Задача 1

ЛЕКЦИЯ 4

Тема 1.3. Пара сил и момент силы относительно точки

Знать обозначение, модуль и определение моментов пары сил или относительно точки, условия равновесия системы пар сил.

Уметь определять моменты пар сил и момент силы относительно точки, определять момент результирующей пары сил.

Пара сил, момент пары сил

Парой сил называется система двух сил, равных по модулю, параллельных и направ­ленных в разные стороны.

Рассмотрим систему сил (F, F 1), образую­щих пару.

1. Пара сил вызывает вращение тела, и ее действие на тело оценивается моментом.
2. Силы, входящие в пару, не уравновешива­ются, т. к. они приложены к двум точкам (рис. 4.1). Их действие на тело не может быть заменено одной силой (равнодействую­щей).
3. Момент пары сил численно равен произ­ведению модуля силы на расстояние между линиями действия сил (плечо пары).
4. Момент считают положительным, ес­ли пара вращает тело по часовой стрелке (рис. 4.1 б): M( F; F") = Fa; М > 0.
5. Плоскость, проходящая через линии действия сил пары, называется плоскостью действия пары.